Matematik İfadeleri Nasıl Basitleştirilir: 13 Adım (Resimlerle)

2023 Yazar: Virginia Parson | [email protected]. Son düzenleme: 2023-11-26 18:54

Matematik öğrencilerinden genellikle cevaplarını "en basit terimlerle" vermeleri istenir - başka bir deyişle, cevapları mümkün olduğunca küçük yazmaları. Uzun, hantal bir ifade ile kısa, zarif bir ifade teknik olarak aynı şeye eşit olsa da, genellikle bir matematik problemi, cevap en basit terimlere indirgenene kadar "bitmiş" olarak kabul edilmez. Ek olarak, en basit terimlerle verilen cevaplar, üzerinde çalışılması neredeyse her zaman en kolay ifadelerdir. Bu nedenlerden dolayı, ifadeleri basitleştirmeyi öğrenmek, hevesli matematikçiler için çok önemli bir beceridir.

adımlar

Yöntem 1/2: İşlem Sırasını Kullanma

Adım 1. İşlemlerin sırasını bilin

Matematik ifadelerini sadeleştirirken, soldan sağa, çarpma, toplama, çıkarma vb. gibi işlemler yaparak ilerleyemezsiniz. Bazı matematik işlemleri diğerlerinden önceliklidir ve önce yapılmalıdır. Aslında, işlemleri düzensiz yapmak size yanlış cevap verebilir. İşlemlerin sırası: parantez içindeki terimler, üsler, çarpma, bölme, toplama ve son olarak çıkarma. Bunu hatırlamak için kullanabileceğiniz kullanışlı bir kısaltma "Lütfen Sevgili Sally Teyzem için özür dilerim" veya "PEMDAS"tır.

İşlem sırasına ilişkin temel bilgiler çoğu temel ifadeyi basitleştirmeyi mümkün kılarken, neredeyse tüm polinomlar dahil olmak üzere birçok değişken ifadeyi basitleştirmek için özel tekniklere ihtiyaç duyulduğunu unutmayın. Daha fazla bilgi için aşağıdaki İkinci Yönteme bakın

Adım 2. Parantez içindeki tüm terimleri çözerek başlayın

Matematikte parantezler, içindeki terimlerin çevreleyen ifadeden ayrı olarak hesaplanması gerektiğini belirtir. İçlerinde gerçekleştirilen işlemlerden bağımsız olarak, bir ifadeyi sadeleştirmeye çalıştığınızda ilk hareketiniz olarak parantez içindeki terimleri ele aldığınızdan emin olun. Bununla birlikte, her parantez çifti içinde işlem sırasının hala geçerli olduğunu unutmayın. Örneğin parantez içinde toplama, çıkarma vb. işlemlerden önce çarpmanız gerekir.

• Örnek olarak 2x + 4(5 + 2) + 3 ifadesini sadeleştirmeye çalışalım.² - (3 + 4/2). Bu ifadede önce parantez içindeki 5 + 2 ve 3 + 4/2 terimlerini çözerdik. 5 + 2 =

  Adım 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Adım 5..

  İkinci parantez içindeki terim 5'e sadeleşir, çünkü işlem sırasına göre parantez içinde ilk eylemimiz olarak 4/2'yi böleriz. Sadece soldan sağa gidersek, bunun yerine önce 3 ve 4'ü toplayabilir, ardından 2'ye bölerek yanlış 7/2 yanıtını verebiliriz

• Not - iç içe birden fazla parantez varsa, önce en içteki terimleri, en içteki ikinci terimden sonra çözün, vb.

Adım 3. Üsleri çözün

Parantezleri çözdükten sonra, ifadenizin üslerini çözün. Bunu hatırlamak kolaydır, çünkü üslerde taban sayısı ve kuvvet yan yana konumlandırılmıştır. Her bir üs probleminin cevabını bulun, ardından cevapları üslerin yerine denkleminize geri koyun.

• Parantezlerle uğraştıktan sonra örnek ifademiz şimdi 2x + 4(7) + 3² - 5. Örneğimizdeki tek üs 3'tür.², hangi eşittir

  Adım 9.. Bunu tekrar denkleme 3 yerine ekleyin² 2x + 4(7) + 9 - 5 elde etmek için.

Adım 4. İfadenizdeki çarpma problemlerini çözün

Ardından, ifadenizde gerekli herhangi bir çarpma işlemini gerçekleştirin. Çarpmanın birkaç şekilde yazılabileceğini unutmayın. Bir × sembolü, bir nokta veya bir yıldız işareti, çarpmayı göstermenin tüm yollarıdır. Bununla birlikte, parantez veya bir değişkeni (4(x) gibi) saran bir sayı da çarpmayı ifade eder.

• Problemimizde iki çarpma örneği vardır: 2x (2x 2 × x'tir) ve 4(7). x'in değerini bilmiyoruz, o halde 2x'i olduğu gibi bırakalım. 4(7) = 4 × 7 =

  Adım 28.. Denklemimizi 2x + 28 + 9 - 5 olarak yeniden yazabiliriz.

Adım 5. Bölmeye geçin

İfadenizde bölme problemlerini ararken, çarpma gibi bölmenin de birden çok şekilde yazılabileceğini unutmayın. Basit ÷ sembolü birdir, ancak bir kesirdeki eğik çizgi ve çubukların (örneğin 3/4 gibi) bölmeyi ifade ettiğini de unutmayın.

Parantez içindeki terimleri ele aldığımızda zaten bir bölme problemini (4/2) çözdüğümüz için, örneğimizde artık bölme yok, bu yüzden bu adımı atlayacağız. Bu önemli bir noktayı ortaya çıkarır - bir ifadeyi sadeleştirirken PEMDAS kısaltmasındaki her işlemi yapmanız gerekmez, sadece probleminizde mevcut olanları yapmanız gerekir

Adım 6. Ekle

Ardından, ifadenizde herhangi bir ekleme problemini gerçekleştirin. İfadenizde soldan sağa doğru ilerleyebilirsiniz, ancak ilk önce basit, yönetilebilir yollarla bir araya gelen sayıları eklemenin en kolay yolunu bulabilirsiniz. Örneğin 49 + 29 + 51 +71 ifadesinde 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 yerine 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 ve 100 + 100 = 200 eklemek daha kolaydır. ve 129 + 71 = 200.

• Örnek ifademiz kısmen "2x + 28 + 9 - 5" olarak sadeleştirilmiştir. Şimdi, yapabildiklerimizi eklemeliyiz - her toplama problemine soldan sağa bakalım. 2x ve 28'i ekleyemiyoruz çünkü x'in değerini bilmiyoruz, o yüzden atlayalım. 28 + 9 = 37, öyleyse yeniden yazalım veya ifadeyi "2x + 37 - 5" olarak yapalım.

Adım 7. Çıkarın

PEMDAS'taki en son adım çıkarmadır. Kalan çıkarma problemlerini çözerek probleminiz üzerinden ilerleyin. Negatif sayıların eklenmesini bu adımda veya normal toplama problemleriyle aynı adımda ele alabilirsiniz - cevabınızı etkilemeyecektir..

• "2x + 37 - 5" ifademizde sadece bir çıkarma problemi vardır. 37 - 5 =

  Adım 32.

Adım 8. İfadenizi gözden geçirin

İşlem sırası ile ilerledikten sonra en basit haliyle ifadenizle baş başa kalmalısınız. Bununla birlikte, ifadeniz bir veya daha fazla değişken içeriyorsa, değişken terimlerinin büyük ölçüde dokunulmadan kalacağını anlayın. Değişken ifadelerini basitleştirmek, değişkenlerinizin değerlerini bulmanızı veya ifadeyi basitleştirmek için özel teknikler kullanmanızı gerektirir (aşağıya bakın).

Son cevabımız "2x + 32". Bu son toplama problemini x'in değerini öğrenene kadar çözemeyiz, ancak yaptığımızda, bu ifadeyi çözmek ilk uzun ifademizden çok daha kolay olacaktır

Yöntem 2/2: Karmaşık İfadeleri Basitleştirme

Adım 1. Benzer değişken terimleri ekleyin

Değişken ifadelerle uğraşırken, aynı değişken ve üslü (veya "benzer terimler") terimlerin normal sayılar gibi toplanıp çıkarılabileceğini hatırlamak önemlidir. Terimler yalnızca aynı değişkene sahip değil, aynı zamanda aynı üslü olmalıdır. Örneğin, 7x ve 5x birbirine eklenebilir, ancak 7x ve 5x² yapamam.

• Bu kural aynı zamanda birden çok değişkenli terimleri de kapsar. Örneğin, 2xy² -3xy'ye eklenebilir², ama -3x değil²y veya -3y².
• x ifadesine bakalım² + 3x + 6 - 8x. Bu ifadede 3x ve -8x terimlerini benzer terimler olduğu için ekleyebiliriz. Basitleştirilmiş, ifademiz x² - 5x + 6.

Adım 2. Faktörleri bölerek veya "iptal ederek" sayısal kesirleri basitleştirin

Hem payda hem de paydada yalnızca sayıları olan (ve değişkeni olmayan) kesirler çeşitli şekillerde basitleştirilebilir. Birincisi ve belki de en kolayı, kesri bir bölme problemi olarak ele almak ve payı paydaya bölmektir. Ayrıca hem payda hem de paydada görünen herhangi bir çarpma çarpanı 1 sayısını vermek üzere bölündükleri için "iptal edilebilir". Yani hem pay hem de payda bir çarpanı paylaşıyorsa bu çarpan kesirden çıkarılabilir., basitleştirilmiş bir cevap bırakarak.

• Örneğin, 36/60 kesirini ele alalım. Kullanışlı bir hesap makinemiz varsa, cevabını almak için bölebiliriz. .6. Bununla birlikte, yapmazsak, ortak faktörleri kaldırarak yine de basitleştirebiliriz. 36/60'ı düşünmenin başka bir yolu da (6 × 6)/(6 × 10) şeklindedir. Bu 6/6 × 6/10 olarak yeniden yazılabilir. 6/6 = 1, yani ifademiz aslında 1 × 6/10 = 6/10. Ancak henüz işimiz bitmedi - hem 6 hem de 10 faktör 2'yi paylaşıyor. Yukarıdaki prosedürü tekrarlayarak, elimizde kaldı. 3/5.

Adım 3. Değişken kesirlerde değişken faktörleri iptal edin

Kesirler biçimindeki değişken ifadeler, sadeleştirme için benzersiz fırsatlar sunar. Normal kesirler gibi, değişken kesirler de hem pay hem de payda tarafından paylaşılan faktörleri kaldırmanıza izin verir. Ancak değişken kesirlerde bu faktörler hem sayılar hem de gerçek değişken ifadeleri olabilir.

• (3x) ifadesini ele alalım.² + 3x)/(-3x² + 15x). Bu kesir (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x) şeklinde yeniden yazılabilir, 3x hem payda hem de paydada görünür. Bu faktörlerin denklemden çıkarılması (x + 1)/(5 - x). Benzer şekilde, ifadede (2x² + 4x + 6)/2, her terim 2'ye bölünebildiği için ifadeyi (2(x) şeklinde yazabiliriz.² + 2x + 3))/2 ve böylece x'e sadeleştir² + 2x + 3.
• Herhangi bir terimi iptal edemeyeceğinizi unutmayın - yalnızca hem payda hem de paydada görünen çarpımsal faktörleri iptal edebilirsiniz. Örneğin, (x(x + 2))/x ifadesinde, "x" hem paydan hem de paydadan sıfırlanır ve (x + 2)/1 = (x + 2) kalır. Ancak (x + 2)/x, 2/1 = 2'yi iptal etmez.

Adım 4. Parantez içindeki terimleri sabitleriyle çarpın

Bitişik sabitli parantez içindeki değişken terimlerle uğraşırken, bazen parantez içindeki her terimin sabitle çarpılması daha basit bir ifadeyle sonuçlanabilir. Bu, tamamen sayısal sabitler ve değişkenler içeren sabitler için geçerlidir.

• Örneğin, 3(x) ifadesi² + 8) 3x'e basitleştirilebilir² + 24, iken 3x(x² + 8) 3x'e basitleştirilebilir³ + 24x.
• Değişken kesirler gibi bazı durumlarda, parantezlerin bitişiğindeki sabitin iptal etme fırsatı verdiğini ve bu nedenle parantez içinde çarpılmaması gerektiğini unutmayın. Kesirde (3(x² + 8))/3x, örneğin, 3 faktörü hem payda hem de paydada görünür, böylece onu iptal edebilir ve ifadeyi (x'e sadeleştirebiliriz)² + 8)/x. Bu, daha basit ve çalışmaktan daha kolaydır (3x³ + 24x)/3x, çarpsaydık alacağımız cevap bu olurdu.

Adım 5. Faktoring yaparak basitleştirin

Faktoring, polinomlar da dahil olmak üzere bazı değişken ifadelerin basitleştirilebildiği bir tekniktir. Çarpanlara ayırmayı yukarıdaki "parantez içinde çarpma" adımının tersi olarak düşünün - bazen bir ifade, tek bir birleşik ifadeden ziyade iki terimin birbiriyle çarpılmasıyla daha basit hale getirilebilir. Bu, özellikle bir ifadeyi çarpanlara ayırmak onun bir kısmını iptal etmenize izin veriyorsa (bir kesirde yaptığınız gibi) geçerlidir. Özel durumlarda (genellikle ikinci dereceden denklemlerle), faktoring denklemin cevaplarını bulmanızı bile sağlar.

• x ifadesini ele alalım² - 5x + 6 kez daha. Bu ifade (x - 3)(x - 2) çarpanlarına ayrılabilir. Yani, eğer x² - 5x + 6, paydasında bu faktör terimlerinden birinin bulunduğu belirli bir ifadenin payıdır, (x) ifadesinde olduğu gibi² - 5x + 6)/(2(x - 2)), payda ile iptal edebilmemiz için çarpanlara ayrılmış biçimde yazmak isteyebiliriz. Başka bir deyişle, (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2) ile), (x - 2) terimleri iptal olur ve bizi (x - 3)/2 ile bırakır.

• Yukarıda ima edildiği gibi, ifadenizi çarpanlara ayırmak isteyebileceğiniz başka bir neden de, çarpanlara ayırmanın belirli denklemlere, özellikle de bu denklemler 0'a eşit ifadeler olarak yazıldığında, cevapları ortaya çıkarabilmesidir. Örneğin, x denklemini ele alalım.² - 5x + 6 = 0. Çarpanlara ayırma (x - 3)(x - 2) = 0'ı alır. Herhangi bir sayı çarpı sıfır sıfıra eşit olduğundan, parantez içindeki terimlerden herhangi birini sıfıra eşitleyebilirsek, bütünün eşittir işaretinin sol tarafındaki ifade de sıfıra eşit olacaktır. Böylece,

  Aşama 3. bir

  Adım 2. denklemin iki cevabıdır.